エルミート 行列。 エルミート行列(エルミートぎょうれつ)とは

エルミート行列(エルミートぎょうれつ)とは

エルミート 行列

規格化された波動関数のノルムは1である。 すると線形演算子には行列のように分配法則を適用できる。 すなわち、演算子の固有関数に対して物理量を観測すれば、 常に固有値に等しい値が得られる。 一般に固有値は複素数値をとるが「物理量」は実数となるべきである• エルミート行列・演算子の固有値問題 エルミート行列・演算子では、• 固有値はすべて実数• 異なる固有値に属する固有ベクトル・関数は互いに直交• 固有ベクトル・関数により正規直交基底・完全系を作れる という特徴を持つ。 エルミート演算子の持つ線形代数的な性質により、量子力学的な期待値の理論が非常にうまく構成されることに注目せよ。 現実的な問題では常にこの境界条件は満たされるため、このことは非常に重要である。 同様に実数定数 定数関数 を掛けることもエルミートな演算である。 部分積分を使い、境界条件を用いるとよい。 解説:物理量を表わす演算子のエルミート性 上でも述べた通り、量子力学で「観測可能」とされる物理量に対応する演算子は必ずエルミートになる。 エルミートにならないと、上で見た以下の性質を利用できない。 固有値は実数になる• 任意の関数を固有状態の一次結合として表せる• その係数から観測値の確率分布が分かる 古典論との比較から言うと、 物理量を演算子で表わした際にエルミートにならないような物理量は直接観測可能ではない。 観測できないことと、そもそもその値が定まるような状態(固有状態)が存在しないこととは 本来異なるのであるがこのあたりについては後に 不確定性原理 のところで詳しく学ぶ。 波動関数が固有関数である場合とその重ね合わせである場合 2020-02-23 日 12:00:36 本文に書かれている内容の解釈は以下のようで正しいですか。 波動関数がある物理量に対応する演算子の固有関数となっている場合 ・固有値は存在する。 さらに、 ・期待値は固有値と等しい。 ・期待値の分散はゼロである。 したがって、物理量の測定値は常に固有値と等しくなる。 波動関数がある物理量に対応する演算子の固有関数の重ね合わせとなっている場合 ・固有値は存在しない。 さらに、 ・期待値は固有値の加重平均となる。 ・期待値の分散は非ゼロである。 このとき、物理量の測定値は常にいずれかの固有値となり、その中間の値とはならない。 ここで、二つの疑問があります。 一つは、1. の場合より、正準共役な物理量に対応する演算子が可換でないことは自明といえますか。 なぜなら、演算子が可換であるとき、同時固有関数が存在し、二つの物理量に固有値が存在することは不確定性原理に反するように思うからです。 もう一つは、2. の場合に測定値が常にいずれかの固有値となり、その中間の値とならないことはどのようにして示されますか。 解釈の部分、固有値は演算子に固有のもので、波動関数に属するものではないため「固有値は存在(する/しない)」の部分に違和感を覚えました。 その他は問題ないと思います。 1つ目の疑問について、自明ではないかもしれませんが、非可換なのは事実です。 正準共役な物理量の交換関係について調べてみるのが良いと思います。 -- 武内(管理人) 2020-02-23 日 15:21:16• 2つ目の疑問を抱く人は他にもいると考えて本文を改訂しました。 質問ありがとうございました。 の節の最後の部分です。 -- 武内(管理人) 2020-02-25 火 12:29:43.

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エルミート行列

エルミート 行列

ここに z T は z のを表す。 ここで、 P は M ののなすをその列ベクトルとして並べて得られるで、 D は対応する固有値をその主対角成分に並べて得られるである。 このとき行列 M は P の列ベクトルからなる基底に関して表したとき、対角行列 D と見做すことができる。 対角行列に対してこれが成り立つのは、その主対角成分(従って今の場合 M の固有値)が全て正である場合に限られる。 によればエルミート行列の任意の固有値は実数であることが保証されるから、実対称行列 M のが使える場合には、 を使って固有値の正値性を確かめることができる。 (実は C n 上の任意の内積が、正定値エルミート行列からこの方法によって得られる)。 行列が正定値であるための必要十分条件は、全ての首座小行列式が正となることであると示すことができる。 この条件は ()と呼ばれ、対称実行列の正定値性の効率的な判定法を与える。 具体的には、ピボットの過程で行列式の符号が保たれることに注意して、の前半部分と同様にを用いて行列をに簡約化すれば、三角行列の k-次首座小行列式は第 k 行までの対角成分の積であるから、シルベスターの判定法は行列の対角成分が全て正であることを確かめることに他ならない。 この条件は三角行列に新たな行 k を考えるごとに確かめることができる。 このような分解は M のと呼ばれる。 同様の理由により、• エルミート行列が負定値、半負定値、半正定値となるための必要十分条件が、それぞれその固有値が全て負、非正、非負となることであることが分かる。 また、不定値の場合には正負両方の固有値が現れることで特徴付けられる。 小行列式の言葉で言えば、エルミート行列が負定値となる条件は、その k-次の首座小行列式が、 k が奇数のとき負かつ k が偶数のとき正となることである。 また、半正定値となるための必要十分条件はその任意の主小行列式が非負となることである。 エルミート行列 M が半正定値となる必要十分条件は、それが適当なベクトルからなる集合のグラム行列として得られることである。 正定値の場合との違いは、これらのベクトルが必ずしも線型独立である必要が無いことである。 定義について [ ] 実の場合と複素の場合の定義の一貫性 [ ] 任意の実行列は複素行列と見ることもできるから、その場合に両クラスに対する「正定値」の定義は一致しているべきである。 この定義の下で、正定値 実行列 M はエルミート、したがって対称であり、また二次形式 z T Mz は任意の非零 実ベクトル z に対して正となる。 しかし、最後の「二次形式が常に正」という条件のみでは M が正定値であるとするには十分ではない。 ただし、 Re c は複素数 c の実部。 まとめると、実の場合と複素の場合とを分ける特徴は、複素ヒルベルト空間上のなはエルミートあるいは自己随伴でなければならないということである。 この一般の主張は ()を用いて説明できる。 このことは実の場合にはもはや正しくない。 関連項目 [ ]• () 注記 [ ]• , p. 359, Definition 6. Howard Anton 2010 , Elementary Linear Algebra: Applications Version 10th ed. 412 Chapter 7 ,• Accessed on 2012-07-26 参考文献 [ ]• Horn, Roger A. ; Johnson, Charles R. 1990 , , , , , ,. Positive definite matrices. Princeton Series in Applied Mathematics, 2007. 外部リンク [ ]• Hazewinkel, Michiel, ed. 2001 , , , , ,•

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エルミート行列のパウリ行列展開とその座標成分(1)

エルミート 行列

シャルル・は,を表現する問題を研究するために,と呼ばれる を導入したが,このエルミート形式ののがエルミート行列である。 たとえば はエルミート行列となる。 つまり, , , となり,すべての i, j について, が成り立つからである。 この例からもわかるように,エルミート行列では,左上から右下への対角線上にある要素は,それ自身にであるから,でなければならない。 a ij がすべて実数のはエルミート行列である。 ここで、随伴行列とは、転置行列(行と列とを入れ換えた行列)の成分の複素数を共役複素数に置き換えたものをいう。 たとえば、二次正方行列 に対して、随伴行列は である。 実エルミート行列は対称行列(主対角線に関して対称な位置にある二つの要素がそれぞれ等しい行列)にほかならない。 エルミート行列はユニタリー行列(複素内積を変えない行列)とともに正規行列の重要な例になっている。 また、正方行列Aが正規行列であるための必要十分条件は、U -1AUが対角行列(主対角線外の成分がすべてゼロとなる行列)になるようなユニタリー行列Uがあることであるから、エルミート行列Aは、ユニタリー行列UでU -1AUを対角行列にすることができる。 エルミート行列は、固有値がすべて実数となる正規行列であると定義してもよい。 とくに、エルミート行列の固有値がすべて正、非負、負、非正に従い、それぞれ、正値、半正値、負値、半負値エルミート行列という。 ここでdetA kはA kの行列式を表す。 [菅野恒雄].

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